概率論
probability theory
研究
隨機現象數量規律的
數學分支。隨機現象是相對于決定性現象而言的。在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象。例如在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下，一系列試驗或觀察會得到不同結果的現象。每一次試驗或觀察前，不能肯定會出現哪種結果，呈現出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現正面或反面，在同一工藝條件下生產出的燈泡，其壽命長短參差不齊等等。隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件統稱隨機事件，或簡稱事件。事件的
概率則是衡量該事件發生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律。例如，連續多次擲一均勻的硬幣，出現正面的頻率隨著投擲次數的增加逐漸趨向于1／2。又如，多次測量一物體的長度，其測量結果的平均值隨著測量次數的增加，逐漸穩定于一常數，并且諸測量值大都落在此常數的附近，其分布狀況呈現中間多，兩頭少及某程度的對稱性。
大數定律及
中心極限定理就是描述和論證這些規律的。在實際生活中，人們往往還需要研究某一特定隨機現象的演變情況隨機過程。例如，微小粒子在液體中受周圍分子的隨機碰撞而形成不規則的運動（即布朗運動），這就是隨機過程。隨機過程的統計特性、計算與隨機過程有關的某些事件的概率，特別是研究與隨機過程樣本軌道(即過程的一次實現)有關的問題，是現代概率論的主要課題。
的起源與
賭博問題有關。16世紀，意大利的學者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Carda501——1576）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。17世紀中葉，有人對博弈中的一些問題發生爭論，其中的一個問題是“賭金分配問題”，他們決定請教法國數學家
帕斯卡（Pascal)和
費馬（Fermat）基于排列組合方法，研究了一些較復雜的賭博問題，他們解決了分賭注問題、賭徒輸光問題。他們對這個問題進行了認真的討論，花費了3年的思考，并zui終解決了這個問題，這個問題的解決直接推動了的產生。
隨著18、19世紀科學的發展，人們注意到在某些
生物、
物理和社會現象與機會游戲之間有某種相似性，從而由機會游戲起源的被應用到這些領域中；同時這也大大推動了本身的發展。使成為數學的一個分支的奠基人是瑞士數學家j.
伯努利，他建立了中*個極限定理，即伯努利大數定律，闡明了事件的
頻率穩定于它的概率。隨后a.de
棣莫弗和p.s.
拉普拉斯 又導出了第二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統總結前人工作的基礎上寫出了《
分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，并在中引入了更有力的分析工具，將推向一個新的發展階段。19世紀末，俄國數學家p.l.
切比雪夫、a.a.馬爾可夫、a.m.
李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式，科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從
正態分布。20世紀初受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。這方面a·n·柯爾莫哥洛夫、n.維納、a·a·馬爾可夫、a·r·辛欽、p·萊維及w·費勒等人作了杰出的貢獻。
如何定義概率，如何把建立在嚴格的邏輯基礎上，是概率理論發展的困難所在，對這一問題的探索一直持續了3個世紀。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下，蘇聯數學家
柯爾莫哥洛夫1933年在他的《基礎》一書中*次給出了概率的測度論的定義和一套嚴密的公理體系。他的
公理化方法成為現代的基礎，使成為嚴謹的數學分支，對的迅速發展起了積極的作用。
概率與統計的一些概念和簡單的方法，早期主要用于賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性，并用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了，并使之逐步發展成一門嚴謹的
學科。現在，概率與統計的方法日益滲透到各個領域，并廣泛應用于
自然科學、
經濟學、
醫學、
金融保險甚至
人文科學中 。
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